さて、力学とは切っても切れない関係にある、と言っていいのが
ここから簡単に見て行く微分（びぶん）と積分（せきぶん）であり、
これもニュートンさんが発明した数学的な技術として有名です。
（ライプニッツとほぼ同時の発明）
ところがドンスコイ、実はニュートン閣下はその力学の基礎となった著書、
通称プリンシピアの中では一切、微分積分を使ってないのです。
一部、積分に近い考え方を説明してますが、
基本的には幾何学的に、つまり図形を使って全て説明してしまってます。
なので、実はニュートン力学を理解するだけなら、
この数学上の技術は必要ありません。
が、それでも、基本的な考え方を理解しておくと、
いろいろと便利ですから、ここでは最低限の説明をしておきましょう。
ニュートンと同時に微積分の考えにたどり着き、
そしてその後、その発明の栄誉について泥沼の奪い合いをやった
ライプニッツさん（右下の売れないロックバンドのボーカルみたいな人）も
実に多才な人で、ごく初期の機械式計算機を発明してたりします。
写真はロンドンの科学博物館の展示で、
右上にその計算機の写真だけが展示されてました。
微分と積分の説明には傾きだ接線だ、
原始関数だの何だのから始まる事が多く、
正直、この人たちは何をしてるんだろう、と思ってしまいがちです。
が、実際のところ、ニュートンがその力学を元に生みだした
微分と積分の目的は単純明快なものでした。
まず微分は
「極短時間内の量の変化率を求める」
つまり、瞬間の量の変化を調べる、
という考え方のために産み出されたものです。
ただし厳密には重大な問題となる「無限小の微小時間」には今回は立ち入りません。
とにかく短い時間だ、と考えておいてくれれば大丈夫です。
例えば街中を走ってる車は停まったり発進したりで、
その速度は常に変化しています。
その状態で1時間に40km/h進めば時速は40km/hとなるわけですが、
この速度は、あくまで1時間の間の平均速度ですね。
実際に走行中の速度計を見るとすると、
見た瞬間ごとに60km/hだったり10km/hだったりするわけです。
この平均速度ではない、ごく短時間ごとの各瞬間の正確な速度、
微小時間における60km/hや10km/h といった速度の量を求めるのが
ニュートンの微分の基本的な目的です。
それによって「時速40km/hの安全運転で来ましたよ、ええ、当然ですよ」
という話が、実は途中で120km/h近くまでかっ飛ばして走っていたのだ、
やたらと信号待ちをした結果、時速40kmになってしまったのだ、
という新事実が判明したりするわけです。
シャッター速度1/800秒とか聞くと
、 人間の感覚だと認識不可能レベルの一瞬に思えますが、
ハチなどは写真でブレてしまうくらい羽を動かしてしまいます。
そして、探せばいくらでもより高速の運動が出てくるため、
極めて短い一瞬の時間、微小時間の定義は意外に難しかったりします。
実際、微積分の方程式の証明まで考えるなら、
最終的に数学のガンであり、同時に夢と希望でもある
「無限」という概念を避けて通れません。
が、当然、この記事ではそんなとこまではやりませんから（笑）、
ここでは、そういった問題がある、とだけ知っておけばオッケーです。
さて、次は積分。
これは単純明快で、蓄積された「量」の総量を求めよう、というもの。
例えば時速40kmで走り続ける車は、時間の進行に伴って
走った距離（Ｌ）、1時間ごとに40kmをどんどん蓄積して行きます。
このため2時間走ったら、
40km/h×2時間（h）＝80km
といった移動距離が蓄積されているはずです。
こういった“全過程を通して蓄積された量を求める”のが積分で、
上の小学校で習う単純な掛け算の計算も、これは積分なのです。
単純でしょ。
ちなみにニュートンは惑星の軌道の楕円の面積を求める、
というケプラーの法則辺りから、
この積分を考えついだのだと思われます。
この面積と積分の関係は次のページで説明します。
ついでに微分が割り算だったのに対し、
積分は掛け算になる、というのにも注意してください。
この両者の計算は表裏一体の関係にあるのです。
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