■それは怪しい乱数で

今回は日経平均株価の終値2000回分、
2008年〜2016年2月までのデータを採用してます。
前回の記事同様、それらの価格差(前日終値÷当日終値)の数字です。
つまり、前のページで見た表計算ソフト エクセルの“人工乱数”
と同じ内容の標本、数量を確保してるわけです。
条件は全く同じなら、それぞれはどんな分布を見せるのか。

さっそくグラフを見てみましょう。
ちなみに日経平均データの平均値はこれも100%、標準偏差は1.72%となります。

■日経平均終値 上昇率 2008〜2016 標本数2000


でもって、エクセルの“人工乱数”も再度掲載。


■エクセルによる人工乱数。標本数2000



はい、一目でわかるように、全く別物です(笑)。
エクセルの“人工乱数”がダイエットに失敗して体調崩した富士山くらいの形なのに、
日経平均の方は体調万全で東京マラソンに来たマッターホルンのような形状になってます。

平均値の位置で最大量の分布を持つ、という点は共通ですが、
それだけでは、当然、正規分布の証拠にはなりませぬ。
実際、日経平均の方の標準偏差内分布をみると、正規分布の理論値とはかなり異なります。

標準偏差以内の含有率が約76.6%(理論値67.8%)

標準偏差2倍以内の含有率が約95.8%(理論値95.3%)

標準偏差3倍以内が98.4%(理論値99.7%)


結論から言えば、
日経平均の値動きは明らかに正規分布ではありません。
特に標準偏差内への数値の集中が大きく、
理論値に対して10%近く大きくなってます。
これはもう、誤差の範疇なんて数字ではなく、明らかに別物でしょう。

不思議なのは標準偏差2倍内は正規分布にほぼ一致してるところですが、
その次の3倍以内でまたズレが生じてます。
ただし3倍以内の理論値との差はせいぜい1.4%、
それは誤差の内(通常の統計では5%以内)じゃん、
と思ってしまいますが、それは大間違い。

標準偏差の3倍を超える上昇率とは、
1.72%×3=5.16%を超える価格変動があった日、という事になります。
これは2016年の取引初日、1月4日の株価18450円で見ると、実に940円の変動であり、
さらにこれは最低値ですから、実際は1000円以上の暴落、
あるいは暴騰があった日、という事を意味します。

本来の理論値では、この滅茶苦茶な大変動の発生確率は0.3%前後でした。
(正確には約0.28%)
それが実際の日経平均ではその5倍以上の確率、1.6%に跳ね上がってるのです。

これが何を意味するか。
1年間を通じての株式市場が開かれるのは約245日ですから、
もし理論通りの約0.28%なら、一年ごとだと0.735日、つまり1日にもなりません。
すなわち、そんな暴騰暴落は、あっても年に1日か2日、うまく行けば
そんな日は無いまま1年が終わる可能性も高いのです。

ところが現実の日経平均における発生率は1.6%にもなります。
すなわち、現実の株式市場では、年に3.9日も
想定外と言っていい暴騰暴落が起きてる、という事です。
1年を通じて3回以上もそんな日があったら株式投資で破産するには十分でしょう。
要するに実際の株式市場は理論値で予測されるより、
はるかに大荒れする危険な乱数集団なのだ、という事です。

ちなみに、これを日経平均だけの特殊な例と思ったら、これまた大間違いで(笑)、
アメリカを代表する株式指数、ダウ工業平均で、同様に2008〜2016年、
約2000のデータを元に、同じように上昇率の分布を見たのが以下のグラフ。

ちなみにこちらは平均値100%、標準偏差1.28%となってます。
日経平均より少し狭い標準偏差、つまり値動きの幅となってますが、
とりあえずマッターホルン絶好調でニューヨークにも登場、という感じですね。
もう一目でわかると思いますが、これも正規分布にはなってません。

こちらも同じように含有量を確認して置くと、

標準偏差以内の含有率が約79.9%(理論値67.8%)

標準偏差2倍以内の含有率が約95.1%(理論値95.3%)

標準偏差3倍以内が98.3%(理論値99.7%)


と、上で見た日経平均の分布と最大誤差3%前後でほぼ一致する、という数値になってます。
世界の株式市場は連動する傾向がある、とはいえ、
独立した市場の、全く異なる数字の指数の上昇率がここまで一致する以上、
なんらかの普遍性を持つ数字だと思っていいんじゃないでしょうか。

実は書いてる本人が、ここまで見事な展開になると全く予想してなかったので、
恐らく一番驚いてるのですが(笑)、どうも市場価格の上昇率による乱数集団は、
正規分布とは異なりながらも、一定の規格にそった分布を見せるのかもしれませぬ。

とりあえず、今回の結論を書いておくと、以下の通りになります。

■株式市場の価格上昇率の乱数集団は正規分布ではない

■それらは標準偏差内の含有率、そして3倍以上の特異例の発生率で、
明白に正規分布と異なった展開を見せ、しかも複数の市場で普遍性がある



まあ、普通の人にはだからどうした、という話ですけどね(笑)。
でもって、ここから導き出される当然の結論として、

金融工学で使われてる理論の内、市場の乱数集団が正規分布となる前提で
組み立てられたものは、実際は何の裏付けもない事になる。
よって最終的には必ず破たんすると思われる

という事になります。

乱数系の微積分でもっとも使われる伊東の補題はまさにこの前提に立ちますから、
それを取り込んだ理論は全部、前提条件が間違ってる可能性が高いよ、という話です。
まあ少なくとも、私は現代の金融工学の8割は茶番だ、と考える事にします。

といった辺りで、今年の話はここまで。
驚いた人は、それなりに驚いてくれた内容だったと思いますが(笑)、
実はまだこれでも、入り口に立っただけです。

たださすがにこれ以上、ホントに全部書いてしまうのか、というと
個人的にも悩むところで、来年、この連載がある確率は半々としておきます。


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